TEORIA DE COLAS
TEORIA DE COLAS
Introducción a
En muchas ocasiones en
la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de
espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a
la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa
situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje
de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un
establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de
aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.
Todavía más frecuentes,
si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las
telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los
procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras
no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un
servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el
servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la
central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento,
etc.
Origen:
El origen de la Teoría de Colas está en el
esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar
la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda
incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus
investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de
líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios
debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas
de congestión llegada-salida.
Modelo de formación
de colas.
En los problemas de formación de cola, a menudo
se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas
telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan
aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante,
operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los
problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de
llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad
variable de prestación del servicio en la estación de servicio.
Cuando se habla de líneas de espera, se
refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los
clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son
inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola
tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que
transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que
los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes;
en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor
parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las
instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados
anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden
encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo
plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos
dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente
hacia el equilibrio, o una situación estable.
En la teoría de la formación de colas,
generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal
modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La
teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera
prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al
problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los
clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de
aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.
La teoría de colas incluye el estudio
matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos
matemáticos para describirlas.
Se debe lograr un balance económico entre el
costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio
La teoría de colas en
sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de
decisiones
Objetivos de la Teoría
de Colas
Los objetivos de la teoría de colas consisten en:
· Identificar el
nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.
· Evaluar el impacto que las posibles alternativas de
modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
· Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre
las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
· Hay que prestar atención al tiempo de permanencia
en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de
servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el
sistema.
Elementos existentes en
un modelo de colas
Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no
necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en
cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud
no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más
sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita
pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando,
aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande
que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio
prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial
genera nuevas peticiones de servicio.
Cliente: Es todo individuo de la población potencial que
solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes
consecutivos son 0<t1<t2<...,
será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de
entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos
entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k}
= tk - tk-1,
fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la
población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad
de los Tk (que será la
llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de
clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso
de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en
proceso de ser atendidos.
Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar
haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse
finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos,
es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos
reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el
suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar
clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.
Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son
seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:
La disciplina FIFO
(first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la
cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
La disciplina LIFO (last in first out), también
conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender
primero al cliente que ha llegado el último.
La RSS (random selection of service), o SIRO
(service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.
Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a
los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de
servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho
número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la
distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un
servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el
servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada
uno.
La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir
los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al
mecanismo de servicio.
El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el
mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos
indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de
servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:
Un modelo de sistema
de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de
servicio para cada servidor.
La distribución más
usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común
encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de
servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma).
Notación de Kendall
Por convención los
modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan
Las distribuciones que
se utilizan son:
• M: Distribución
exponencial (markoviana)
• D : Distribución
degenerada (tiempos constantes)
• E k :
Distribución Erlang
• G : Distribución
general
M / M / s : Modelo
donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son
exponenciales y se tienen s servidores.
M / G / 1: Tiempos
entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor
Terminología
Usualmente siempre es
común utilizar la siguiente terminología estándar:
• Estado del sistema : Número de
clientes en el sistema.
• Longitud de la cola: Número de
clientes que esperan servicio.
• N(t) : Número de
clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t ³0).
• Pn (t):
Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t,
dado el número en el tiempo cero.
• s : Número de
servidores en el sistema de colas.
• l n : Tasa media
de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos
clientes cuando hay n clientes en el sistema.
• mn : Tasa media
de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su
servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.
Nota: mn representa
la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar sus
servicios
l n: Cuando l n es constante para toda n
mn : Cuando mn es
constante para toda n ³ 1
|
1 |
Tiempo entre
llegadas |
|
|
|
||
|
l |
esperado |
|
|
|
|
1 |
Tiempo entre
llegadas |
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|
|
||
|
m |
esperado |
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|
|
Ejemplo:
Sea l = 3
personas / hora
|
1 |
|
1 hora |
|
|
|
|||
|
l |
|
3 |
|
|
|
|
= 20
minutos |
r: factor de
utilización para la instalación se servicio (fracción esperada de tiempo fue
los servidores individuales están ocupados).
|
r = |
l |
|
sm |
También puede interpretarse como número promedio
de personas siendo atendidas.
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